Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与抛物线y＝+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；

（1）求抛物线解析式；

（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上；

①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD；求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；

②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；

（2）①当m＝时，S△ADE﹣S△CEF的最大值为，此时点D坐标为（，）；

②存在，点D的横坐标为点D横坐标为或．

【解析】

（1）先求出C（0，﹣4）A（3，0），然后代入y＝+bx+c，从而求出抛物线解析式；

（2）①设D（m，），则tan∠ABD＝，然后用m的代数式表示△ADE与△CEF面积差，利用二次函数最值求出最大值；

②作∠ACO的平分线CP交x轴于点P，过P作PH⊥AC于点H．求出tan∠PCH＝，然后分两种情况讨论：Ⅰ．当∠MCD＝∠ACO＝∠PCH时，Ⅱ．当∠MDC＝∠ACO＝∠PCH时．

（1）对于y＝x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4所以C（0，﹣4）；

令y＝0，则x＝3，

∴A（3，0）；

把点A、C坐标代入抛物线解析式，

得：解得，

∴抛物线解析式为y＝；

（2）设D（m，），0＜m＜3

①连接OD，因为B（﹣1，0），D（m，）

tan∠ABD＝，

∴OF＝﹣（m﹣3），

又OA＝3，OC＝4，

∴S△ADE﹣S△CEF＝S四边形AOFD﹣S△AOC＝AO|yD|+OF|xD|﹣OAOC

＝[3（﹣m2+m+4）﹣（m﹣3）m﹣3×4]

＝﹣m2+6m

＝﹣（m﹣）2+，

所以当m＝时，S△ADE﹣S△CEF的最大值为，此时点D坐标为；

②存在，点D的横坐标为点D横坐标为或．

作∠ACO的平分线CP交x轴于点P，过P作PH⊥AC于点H．

则CH＝CO＝4，OP＝PH，

设OP＝PH＝x，则PA＝3﹣x，

∵OC＝4，OA＝3，

∴AC＝5，AH＝1，

在Rt△PHA中，

PH2+AH2＝AP2，

即/span>x2+12＝（3﹣x）2，

解得x＝，

∴tan∠PCH＝，

过点D作DG⊥x轴于点G，过点M作ME∥x轴，与y轴交于点E，与DG交于点F．

设M（m，），则ME＝m，FG＝OE＝，CE＝，

∵DM⊥直线AC，

∴△CEM∽△MFD，

∴，

Ⅰ．当∠MCD＝∠ACO＝∠PCH时，

tan∠MCD＝tan∠PCH＝，

∴，即，

∴，

∴MF＝CE＝，DF＝ME＝，

∴EF＝EM+MF＝m+＝，DG＝DF+FG＝m+（）＝﹣m+4，

∴D（，m﹣4），

将点D坐标代入y＝，

m﹣4＝，

解得m＝0（舍去）或m＝

Ⅱ．当∠MDC＝∠ACO＝∠PCH时，

tan∠MDC＝tan∠PCH＝，

即，

∴，

MF＝4m，DF＝3m，

∴EF＝EM+MF＝m+4m＝5m，

DG＝DF+FG＝3m﹣，

∴D（5m， ），

将点D坐标代入y＝，

，

解得x＝0（舍去）或x＝；

综上，点D横坐标为或．