Question

【题目】“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由四边形得，化简得：．

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长就是该方程的一个正根(如实例二图)．

根据以上阅读材料回答下面的问题：

（1）如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是　　　　，乙图要证明的数学公式是　　　　，体现的数学思想是　　　　；

（2）如图2，按照实例二的方式构造，连接，请用含字母、的代数式表示的长，的表达式能和已学的什么知识相联系；

（3）如图3，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接，设，，求证：．

　　　　

　　　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想；（2），的表达式能和一元二次方程的求根公式相联系；（3）证明见解析．

【解析】

（1）根据大正方形面积=各个部分面积之和，即可得到完全平方公式和平方差公式，进而即可得到答案；

（2）根据勾股定理以及一元二次方程的求根公式，即可得到答案；

（3）连接，，易证，，结合，即可得到结论．

（1）如图1中，图甲大正方形的面积，

图乙中大正方形的面积，即：．

它们都体现了数形结合的思想．

故答案是：完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想；

（2）∵在中，，，

∴，

∴；

解，由求根公式可得，

答：的表达式能和一元二次方程的求根公式相联系；

（3）由已知，可得，连接，．

∵为直径，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，即，

∵在中，，

∴，即，

∴．