Question

12．已知一元二次方程x²-2x+m=0
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂且x₁+3x₂=3，求m的值和方程的两根x₁，x₂．

Answer 1

分析 （1）一元二次方程x²-2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；
（2）利用两根关系，已知x₁+x₂=2结合x₁+3x₂=3，先求x₁、x₂，再求m．

解答 解：（1）∵方程x²-2x+m=0有两个实数根，
∴△=（-2）²-4m≥0，
解得m≤1；

（2）由两根关系可知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{x}_{1}+3{x}_{2}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{x}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴m=x₁•x₂=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．