Question

4．已知a+$\frac{1}{a}$=3，则：
（1）a-$\frac{1}{a}$=$±\sqrt{5}$；
（2）当0＜a＜1时，$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$=-1．

Answer 1

分析 （1）a-$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$，根据完全平方公式得出a-$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^{2}-4a•\frac{1}{a}}$，代入求出即可；
（2）求出$\sqrt{a}$＜$\frac{1}{\sqrt{a}}$，根据完全平方公式和已知得出（$\sqrt{a}$）²-2•$\sqrt{a}$•$\frac{1}{\sqrt{a}}$+（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²=3-2•$\sqrt{a}$•$\frac{1}{\sqrt{a}}$，求出即可．

解答 解：（1）∵a+$\frac{1}{a}$=3，
∴a-$\frac{1}{a}$
=±$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$
=±$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^{2}-4a•\frac{1}{a}}$
=±$\sqrt{{3}^{2}-4}$
=$±\sqrt{5}$，
故答案为：±$\sqrt{5}$；

（2）∵0＜a＜1，
∴$\sqrt{a}$＜$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∵a+$\frac{1}{a}$=3，
∴（$\sqrt{a}$）²-2•$\sqrt{a}$•$\frac{1}{\sqrt{a}}$+（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²=3-2•$\sqrt{a}$•$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²=1，
∴$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$=-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键，注意：完全平方公式有：①a²-2ab+b²=（a-b）²，②a²-2ab+b²=（a-b）²．