Question

如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，且∠CBD=30°，连接BD
（1）求证：AB=AD；
（2）设AD交BC于点P，若△ABP是等腰三角形，求∠ABC的度数．

Answer 1

考点：圆的综合题,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定与性质

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）作△BDC的外接圆，延长DE交圆于点F，连接CF、AF．易证△ACF是等边三角形，从而有AF=AC=AB，可得过点B、F、C三点的圆（即过B、D、C三点的圆）的圆心为A，问题得以解决．
（2）由于等腰△ABP的腰不确定，故需分三种情况讨论，利用三角形内角和定理及外角性质即可解决问题．

解答：解：（1）证明：作△BDC的外接圆，延长DE交圆于点F，连接CF、AF，如图所示，
则有∠DBC=∠DFC=30°．
∵DE垂直平分AC，
∴AF=FC，
∴∠AFE=∠CFE=30°，
∴∠AFC=60°，
∴△AFC是等边三角形，
∴AF=AC．
∵AB=AC，
∴AF=AC=AB，
∴点A为所作圆的圆心，
∴AB=AD．

（2）①若PA=PB，
则∠ABC=∠BAP．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠DAC=2∠DBC=60°，
∴∠APB=∠PAC+∠ACB=60°+∠ACB，
∴∠APB=60°+∠ABC．
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，
∴3∠ABC+60°=180°，
解得：∠ABC=40°
②若BA=BP，
同理可得：∠ABC=20°．
③AB=AP，
此时P与C重合，
则D与E重合，
不符合题意，故舍去．
综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABC的度数为40°或20°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识，构造辅助圆是解决第（1）小题的关键，分类讨论则是解决第（2）小题的关键．