Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个公共点，且公共点A（-3，0），求b，c的值；若该抛物线与y轴交于B，坐标原点为O，求△OAB的边AB上的高．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）抛物线与x轴只有一个交点，那么此点必为抛物线的顶点，已知了二次项系数和抛物线顶点，即可得出顶点式抛物线的解析式，展开后即可求得b、c的值；（也可用根的判别式和A点的坐标联立方程来解）；
（2）根据（1）的抛物线可求出B点坐标，即可得出OA、OB的长，然后根据A、B坐标用勾股定理求出AB的长，由面积法来求△OAB的边AB上的高．

解答：解：（1）由题意可知：y=（x+3）²=x²+6x+9，
因此b=6，c=9；

（2）如图，设AB边上的高为OC．
由（1）知，抛物线的解析式为y=x²+6x+9，则易求OA=3，OB=9．
在直角△AOB中，根据勾股定理，得
AB=

OA2+OB2

=

32+92

=3

10

，
所以，

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OC，
故OC=

OA•OB

AB

=

3×9

3 10

=

9 10

10

，即△OAB的边AB上的高为

9 10

10

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．抛物线的解析式有三种形式，解（1）题时，根据已知条件可以写出抛物线的顶点式关系式．