Question

16．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，且∠BAC=90°，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可先证得△AEF≌△DEB，可证得CD=AF，可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）由等腰直角三角形的性质可求得∠ADC=90°，AD=CD，可证明四边形ADCF为正方形．

解答 （1）证明：
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∴AF=CD，且AF∥CD，
∴四边形ADCF为平行四边形
（2）解：四边形ADCF为正方形，
理由如下：
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，且AD=CD=BD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF为正方形．

点评 本题主要考查平行四边形、正方形的判定和性质，利用全等三角形证得AF=CD是解题的关键．