Question

8．己知：如图，在四边形ABCD中，AB=3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）填空：
①当四边形ABCD必须满足条件AD=BC时，四边形CDEF是矩形；
②当四边形ABCD必须满足条件AD⊥BC时，四边形CDEF是菱形．

Answer 1

分析 （1）只要证明四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，即可解决问题；
（2）①当AD=BC时，四边形EFCD是矩形．②当AD⊥BC时，四边形EFCD是菱形．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，DF∥BC，
∴四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，
∴AE=CD=FB，
∵AB=3CD，
∴EF=CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．

（2）解：①当AD=BC时，四边形EFCD是矩形．
理由：∵四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，
∴EC=AD，DF=BC，
∴EC=DF，
∵四边形EFDC是平行四边形，
∴四边形EFDC是矩形．

②当AD⊥BC时，四边形EFCD是菱形．
理由：∵AD∥CE，DF∥CB，AD⊥BC，
∴DF⊥BC，
∵四边形EFCD是平行四边形，
∴四边形EFCD是菱形．
故答案为AD=BC，AD⊥BC．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．