Question

8．如图，Rt△A'BC'是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A，B，C'在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则Rt△ABC旋转到Rt△A'BC'所扫过的面积为$\frac{16}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AC=2$\sqrt{3}$，再利用三角函数得到∠ABC=60°，接着根据旋转的性质得到∠A′B′C′=∠ABC=60°，△ABC≌△A′B′C′，所以∠ABA′=120°，
然后根据扇形面积公式，利用Rt△ABC旋转到Rt△A'BC'所扫过的面积=S_扇形ABA′+S_{△A′B′C′}进行计算即可．

解答 解：∵∠C=90°，BC=2，AB=4，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=60°，
∵Rt△A'BC'是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A，B，C'在同一条直线上，
∴∠A′B′C′=∠ABC=60°，△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ABA′=120°，
∴Rt△ABC旋转到Rt△A'BC'所扫过的面积=S_扇形ABA′+S_{△A′B′C′}
=$\frac{120•π•{4}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$
=$\frac{16}{3}$π+2$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{16}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．