Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）设四边形DECF的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数可求AB，BC，根据余角的性质即可推出∠A=∠BDF，继而求证△ADE∽△DBF，结合对应边成比例和BF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-x，AE=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-y，即可求出y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（0＜x＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）；
（2）根据（1）所推出的结论，结合矩形的面积公式通过等量代换，即可求出二次函数S=DE•DF=-2x²+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x，然后根据二次函数的最值公式即可求出S的最大值．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=8，
∴AB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，BC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{DE}{BF}$，
∵四边形DECF是矩形，DF=y，DE=x，
∴CF=x，CE=y，
∴BF=BC-CF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-x，
∵AE=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-y，
∴$\frac{\frac{16\sqrt{3}}{3}-y}{y}$=$\frac{x}{\frac{8\sqrt{3}}{3}-x}$，
∴y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（0＜x＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），

（2）∵y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，DE=x，DF=y，
∴S=DE•DF=xy=x（-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）=-2x²+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x=-2（x²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{16}{3}$）+$\frac{32}{3}$，
即S=-2（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{32}{3}$，
∴S的最大值是$\frac{32}{3}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，矩形的面积，二次函数的最值等知识点，角的三角函数，关键在于求证△ADE∽△DBF，用关于x、y的式子表达出相关的线段，认真地进行计算．