Question

15．如图，以△ABC的两边AB、AC为底边向外做等腰直角三角形ADB和ACE，连接DE，若S_△ADE：S_{四边形DBCE}=1：2，且tan∠AED=$\frac{3}{4}$，则$\frac{AB}{AC}$的值为$\frac{\sqrt{34}}{5}$．

Answer 1

分析 过A作AH⊥DE于H，过B作BM⊥DE于M，过C作CN⊥DE于N，于是得到∠BMD=∠AHD=90°，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD，∠ADB=90°，于是得到∠DAH=∠BDM，推出△BDM≌△ADH，同理△CEN≌△AEH，由于S_△ADE：S_{四边形DBCE}=1：2，求得S_△ADE=S_梯形BCNM，根据梯形的面积公式得到AH•（DH+EH）=（BM+CN）•MN，证得AH=MN，由tan∠AED=$\frac{3}{4}$，设AH=3x，得到DM=EN=3x，EH=CN=4x，根据勾股定理求出AD=$\sqrt{34}$x，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过A作AH⊥DE于H，过B作BM⊥DE于M，过C作CN⊥DE于N，
∴∠BMD=∠AHD=90°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠ADH+∠BDH=∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠DAH=∠BDM，
在△BDM与△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠DAH}\\{∠BMD=∠DHA}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△ADH，
同理△CEN≌△AEH，
∵S_△ADE：S_{四边形DBCE}=1：2，
∴S_△ADE=S_梯形BCNM，
∴AH•（DH+EH）=（BM+CN）•MN，
∴AH=MN，
∵tan∠AED=$\frac{3}{4}$，
∴设AH=3x，
∴DM=EN=3x，EH=CN=4x，
∴HN=HE-NE=x，AE=5x，
∴MH=2x，
∴DH=DM+MH=5x，
∵AD²=DH²+AH²，
∴AD=$\sqrt{34}$x，
∵△ABD，△ACE是等腰直角三角形，
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{34}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{34}}{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．