Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．

（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；

（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；

（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝x2+mx+n即可；

（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；

（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．

解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n，

得

解得，m＝﹣，n＝5，

则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；

（2）∵AC＝，BC＝，AB＝，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，

当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y 轴于点Q，

∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，

∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，

∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，

又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；

（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，

由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），

将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，

∴k＝﹣，∴yAB'＝﹣x+5，

联立解得，x1＝，x2＝0（舍去），

则F'（，﹣），

将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，

得，解得，∴yBB'＝x﹣5，

由题意知，kFF'＝KBB'，∴设yFF'＝x+b，

将点F'（，﹣）代入，得，b＝﹣，

∴yFF'＝x﹣，

联立解得，

∴F（，），

则FF'＝＝．