Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，CF∥AB交AD延长线于点F，连接BF交⊙O于点G，连接DG．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）求证：四边形ABFC为菱形；

（3）若OA=5，DG=2，求线段GF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4．

【解析】

（1）如图，连接OD，由等腰三角形的性质可得∠OBD=∠ODB，∠ABC=∠ACB，可证明∠ODB=∠ACB，可得OD//AC，根据DE⊥AC可得DE⊥AC，即可证明DE为⊙O的切线；

（2）由OD//AC，OA=OB可得BD=CD，根据平行线的性质可得∠BAD=∠CFD，∠ABD=∠FCD，利用AAS可证明△ABD≌△FCD，可得AB=CF，可证明四边形ABFC是平行四边形，由AB=AC即可证明四边形ABCF是菱形；

（3）根据圆内接四边形的性质及平角的定义可得∠GDF=∠ABG，∠DGF=∠BAD，可证明△FGD∽△FAB，根据菱形的性质可得∠BAD=∠BFD，即可证明∠DGF=∠BFD，可得DG=DF，利用相似三角形的性质即可求出GF的长．

（1）连接OD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE为⊙O的切线．

（2）由（1）得，OD∥AC，

又∵OA=OB，

∴DB=DC，

∵CF∥AB，

∴∠BAD=∠CFD，∠ABD=∠FCD，

在△ABD和△ECD中，，

∴△ABD≌△FCD，

∴AB=CF，

∴四边形ABFC为平行四边形，

∵AB=AC，

∴平行四边形ABFC为菱形．

（3）∵四边形ABGD内接于⊙O，

∴∠ABG+∠ADG=180°，∠BAD+∠BGD=180°，

∵∠GDF+∠ADG=180°，∠DGF+∠BGD=180°，

∴∠GDF=∠ABG，∠DGF=∠BAD，

∴△FGD∽△FAB，

∴，

∵AB为⊙O的直径，OA=5，

∴AB=10，

∵四边形ABFC为菱形，

∴∠BAD=∠BFD，AF=2DF，

∴∠DGF=∠BFD，

∴DF=DG=2，

∴AF=2DF，

∴．