Question

5．如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{2}$≈1.4，结果保留一位小数）

Answer 1

分析 设CD=xm，先在Rt△BCD中，由于∠DBC=45°，则根据等腰直角三角形的性质得BC=CD=x，再在Rt△DAC中，利用正切定义得到x+2=$\sqrt{3}$x，解得x=$\sqrt{3}$+1，即BC=CD=$\sqrt{3}$+1，然后在Rt△FBE中根据等腰直角三角形的性质得FE=BE=BC+CE≈5.7．

解答 解：设CD=xm，
在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，
∴BC=CD=x，
在Rt△DAC中，∵∠DAC=30°，
∴tan∠DAC=$\frac{CD}{AC}$，
∴x+2=$\sqrt{3}$x，解得x=$\sqrt{3}$+1，
∴BC=CD=$\sqrt{3}$+1，
在Rt△FBE中，∵∠DBC=45°，
∴FE=BE=BC+CE=$\sqrt{3}$+1+3≈5.7．
答：树EF的高度约为5.7m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．