Question

【题目】如图1，抛物线y1＝x2+bx+c经过原点，交x轴于另一点A（4，0），顶点为P．

（1）求抛物线y1的解析式和点P的坐标；

（2）如图2，点Q（0，a）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线交抛物线y1＝x2+bx+c于点M，N，将抛物线y1＝x2+bx+c沿直线MN翻折得到新的抛物线y2，点P落在点B处，若四边形BMPN的面积等于，求a的值及点B的坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，在第一象限的抛物线y1＝x2+bx+c上取一点C，连接OC，作CD⊥OB于D，BE⊥OC交x轴于E，连接DE，若∠BEO＝∠DEA，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y1＝x-x，点P的坐标（2，﹣）；（2）B（2，2）；（3）C（5，1）

【解析】

（1）根据抛物线y1＝x2+bx+c经过原点和交x轴于另一点A（4，0），即可求出抛物线y1的解析为，点P的坐标；

（2）四边形BMPN的面积等于，所以，联立，化简得 x2-4x-5a=0，MN=|x1-x2|=，S△MNP，解得a=，所以B（2，2）；

（3）延长DC与x轴交于点F，∵B（2，2），直线OB：y=x，设点C的坐标，则直线CD：，直线OC：，所以点F，，易证△BOE～△DFE，则，求得m=5或m=4（舍去），所以C（5，1）．

解：（1）∵抛物线y1＝x2+bx+c经过原点，交x轴于另一点A（4，0），

∴

解得，

则抛物线y1的解析为，点P的坐标；

（2）四边形BMPN的面积等于，所以，联立

化简得x2-4x-5a=0，MN=|x1-x2|=，

S△MNP，

解得a＝，所以B（2，2）；

（3）延长DC与x轴交于点F，

∵B（2，2），

∴直线OB：y=x，

设点C的坐标，

∵CD⊥OB，

∴直线CD：，

直线OC：，

∴点F，

，

∵BE⊥OC，

∴直线BE：，

∴点，

，

∵∠BEO=∠DEA，∠BOE=∠DFE=45°，

∴△BOE～△DFE，

，

即，

解得m=5或m=4（舍去），

所以C（5，1）．