Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC三条中线的交点，且∠BPC=90°，若AB=12，
则AC的长为

 

．

Answer 1

考点：三角形的重心,勾股定理

专题：

分析：延长CP交AB于点D，根据点P是为△ABC三条中线的交点可知CD是斜边AB的中点且CP=2PD，由直角三角形的性质得出CD的长，进而得出PD及CP的长，再根据勾股定理即可得出BC的长，进而得出结论．

解答：解：延长CP交AB于点D，
∵点P是为△ABC三条中线的交点，
∴CD是斜边AB的中点且CP=2PD，
∵△ABC是直角三角形且AB=12，
∴CD=BD=

1

2

AB=6，
∴PD=

1

3

×6=2，CP=

2

3

×6=4，
∵∠BPC=90°，
∴BD²-PD²=BC²-PC²，即6²-2²=BC²-4²，解得BC²=48，
在Rt△ABC中，
∵AC²+BC²=AB²，即AC²+48=12²，解得AC=4

6

．
故答案为：4

6

．

点评：本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．