Question

求所有使a⁴+4^b等于质数的正奇数对（a，b）．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：由于b是正奇数，可设b=2c+1，则a⁴+4^b=a⁴+4^2c+1=a⁴+4•（2^c）⁴=[a²+2•（2^c）²+2a•2^c][a²+2•（2^c）²-2a•2^c]是质数，依此可得（a-1）（a+1）=2^c+1•（a-2^c），由于a是正奇数，可设a=2d+1，则（a-1）（a+1）=（2d+1-1）（2d+1+1）=4d（d+1）=2^c+1•（2d+1-2^c），得到d（d+1）=2^c-1•（2d+1-2^c），再分（1）如果c=0，则b=1，d（d+1）=

1

2

•（2d+1-1）；（2）如果c≥1，则d=2^c-1•m或d=2^c-1•m-1（m|a-2^c）；两种情况讨论即可求解．

解答：解：∵b是正奇数，
∴设b=2c+1，
则a⁴+4^b=a⁴+4^2c+1=a⁴+4•（2^c）⁴=[a²+2•（2^c）²+2a•2^c][a²+2•（2^c）²-2a•2^c]是质数，
∴a²+2•（2^c）²-2a•2^c=1，
∴a²-1=2a•2^c-2•（2^c）²=2^c+1•a-2^c+1•2^c，
∴（a-1）（a+1）=2^c+1•（a-2^c），
∵a是正奇数，
∴设a=2d+1，
∴（a-1）（a+1）=（2d+1-1）（2d+1+1）=4d（d+1）=2^c+1•（2d+1-2^c），
∴d（d+1）=2^c-1•（2d+1-2^c），
（1）如果c=0，则b=1，d（d+1）=

1

2

•（2d+1-1），
∴d²=0，
∴d=0，
∴a=1，
∴（a，b）=（1，1）．
（2）如果c≥1，则d=2^c-1•m或d=2^c-1•m-1（m|a-2^c），
①d=2^c-1•m时，m（2^c-1•m+1）=2^c•m+1-2^c，2^c-1•m²=（2^c-1）（m-1），
∴

2c-1=m-1 m2=2c-1

，
即m²=2m-3，无解；
②d=2^c-1•m-1时，m（2^c-1•m-1）=2^c•m-1-2^c，2^c-1•m²=（2^c+1）（m-1），
∴

2c-1=m-1 m2=2c+1

，
即m²=2m-1，无解．
故正奇数对（a，b）为（1，1）．

点评：此题主要考查偶数与奇数，质数与合数的概念及意义，以及分类思想的应用．