Question

14．a、b、c为△ABC的三边，当m＞0时，关于x的方程c（x²+m）+b（x²-m）-2$\sqrt{m}$ax=0有两个相等的实数根．
（1）将方程整理为关于x的一元二次方程的一般形式；
（2）求证：△ABC为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）把方程整理成一般式得（c+b）x²-2$\sqrt{m}$ax+m（c-b）=0；
（2）根据根的判别式得出（-2$\sqrt{m}$a）²-4m（c+b）（c-b）=0，化简得到a²+b²=c²．根据勾股定理的逆定理得到△ABC一定是直角三角形．

解答 （1）解：方程化为一般式得（c+b）x²-2$\sqrt{m}$ax+m（c-b）=0；
（2）证明：∵关于x的一元二次方程c（x²+m）+b（x²-m）-2$\sqrt{m}$ax=0有两个相等的实数根，
∴（-2$\sqrt{m}$a）²-4m（c+b）（c-b）=0，
∴4ma²-4m（c²-b²）=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac＜0时，方程无实数根．