Question

【题目】如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．

（1）求∠AEC的度数；

（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．

（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠AEC＝130°；（2）∠A1EC＝130°；（3）∠A1EC＝40°．

【解析】

(1)由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；

(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；

(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.

(1)如图1所示：

∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，

∴∠ADC＝∠QAD＝30°，

∴∠PAD＝150°，

∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，

∴∠PAE＝75°，

∴∠CAE＝25°，

可得∠PAC＝∠ACN＝50°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ECA＝25°，

∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；

(2)如图2所示：

∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，

∴∠QA1D1＝30°，

∴∠PA1D1＝150°，

∵A1E平分∠AA1D1，

∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，

∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，

∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，

∵CE平分∠ACD1，

∴∠ACE＝25°，

∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；

(3)如图3所示：

过点E作FE∥PQ，

∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，

∴∠QA1D1＝30°，

∵A1E平分∠AA1D1，

∴∠QA1E＝∠2＝15°，

∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，

∴∠ACN＝50°，

∵CE平分∠ACD1，

∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，

∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．