Question

12．如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=$\frac{4}{3}$．
（1）求CD边的长；
（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别延长AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，由tanA=$\frac{4}{3}$，AB=3，BC=2，得到BE=4，EC=2，AE=5，通过等角的余角相等得到∠A=∠ECD，由tanA=$\frac{4}{3}$，得cosA=$\frac{3}{5}$，于是得到cos∠ECD=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{3}{5}$，即问题可得；
（2）由（1）可知tan∠ECD=$\frac{ED}{CD}=\frac{4}{3}$，得到ED=$\frac{8}{5}$，如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～△EPQ，得到比例式$\frac{ED}{EP}=\frac{DC}{PQ}$，求得PQ=$\frac{6}{5}+\frac{3}{4}x$，由S_{四边形PQCD}=S_△EPQ-S_△EDC，于是得到y=$\frac{1}{2}$PQ•EP-$\frac{1}{2}$DC•ED=$\frac{1}{2}×（\frac{6}{5}+\frac{3}{4}x）×（\frac{8}{5}+x）$-$\frac{1}{2}×\frac{6}{5}×\frac{8}{5}$=${\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{6}{5}x$，于是当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=$\frac{8}{5}$，于是结论可得．

解答 解：（1）如图（3），分别延长AD、BC相交于E，
在Rt△ABE中，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，AB=3，BC=2，
∴BE=4，EC=2，AE=5，
又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠A=∠ECD，
由tanA=$\frac{4}{3}$，得cosA=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠ECD=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{6}{5}$；

（2）如图4，由（1）可知tan∠ECD=$\frac{ED}{CD}=\frac{4}{3}$，
∴ED=$\frac{8}{5}$，
如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～△EPQ，
∴$\frac{ED}{EP}=\frac{DC}{PQ}$，
∴$\frac{\frac{8}{5}}{\frac{8}{5}+x}=\frac{\frac{6}{5}}{PQ}$，即PQ=$\frac{6}{5}+\frac{3}{4}x$，
∵S_{四边形PQCD}=S_△EPQ-S_△EDC，
∴y=$\frac{1}{2}$PQ•EP-$\frac{1}{2}$DC•ED=$\frac{1}{2}×（\frac{6}{5}+\frac{3}{4}x）×（\frac{8}{5}+x）$-$\frac{1}{2}×\frac{6}{5}×\frac{8}{5}$=${\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{6}{5}x$，
∴当Q点到达B点时，点P在M点处，
由EC=BC，DC∥PQ，
∴DM=ED=$\frac{8}{5}$，
∴自变量x的取值方范围为：0＜x≤$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，求函数的解析式，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．