Question

【题目】如图，平行四边形的对角线、相交于点，点是边的延长线上一点，且，连接.

（1）求证：；

（2）如果，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由平行四边形的性质得到BO=OD，由等量代换推出OE=OD，根据平行四边形的判定即可得到结论；

（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，从而可证∠DBE=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=OD，

∵OE=OB，

∴OE=OD，

∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，

∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，

∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，

∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，

∴∠CEO=∠CDE，

∵OB=OE，

∴∠DBE=∠CDE，

∵∠BED=∠BED，

∴△BDE∽△DCE，

∴，

∵BD=2OB=2OE,

∴.