Question

【题目】如图，在中，于点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作交边于点，以为边作使点在点的下方，且，设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．

（1）的长为 ；

（2）当点落在边上时，求的值；

（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；

（4）若射线与边交于点连结，当的垂直平分线经过的顶点时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）当0＜t≤时，；≤t＜2时，；（4）或或．

【解析】

（1）由勾股定理计算出BD即可得到CD的长度；

（2）当点F落在BC上时，四边形BFEP为平行四边形，利用锐角三角函数的定义表达出BF，根据PE=BF列出方程解答即可；

（3）分别求出当EF经过点D时，以及当点F在边BC上时的时间t，再分类讨论，当0＜t≤时，重叠部分为四边形PNDM；≤t＜2时，△PEF与△ABD重叠的部分为四边形PFHG，分别根据锐角三角函数的定义以及相似三角形的相似比，表达出面积即可；

（4）分三种情况讨论，①当PQ的中垂线过点B时，证明平行四边形PBQE是菱形，再根据PE=BP列出等式求解即可；②当PQ的中垂线过点A时，在Rt△AQD中，根据AD2+QD2=AQ2即可解答；③当PQ的中垂线经过点C时，根据CQ=PC列出等式即可解答．

（1）由题意可知，BD=，

∴CD=BC-BD=10-8=2，

故答案为：2；

（2）如图，当点F落在BC上时，由题意可知，BP=5t，则AP=10-5t，

∵PE∥BC，EF∥AB，

则四边形BFEP为平行四边形，且∠AEP=∠ACB，

又∵∠ACB=∠BAC，

∴∠AEP=∠BAC，

∴PE=AP=10-5t，

又∵cosB=，

∴，则BF=4t，

∵四边形BFEP为平行四边形，

∴PE=BF，即，解得：，

（3）①如下图所示，当EF经过点D时，

∵PE∥BC，EF∥AB，

∴四边形PBDE是平行四边形，且∠DEC=∠BAC，

∴DE=BP=5t，∠DEC=∠C，

∴DE=DC，即5t=2，解得t=，

∴当0＜t≤时，重叠部分为四边形PNDM，

∵∠EPF=90°，PE∥BC，

∴∠PND=90°，

又∵∠ADB=90°，

∴四边形PNDM为矩形，

在RT△BPN中，sinB=，即，解得PN=3t，

cosB=，即，解得BN=4t，

∴DN=8-4t，

∴S=PN·DN=，

②当点F在边BC上时，如图，

由①可知BF=4t，PF=3t，则CF=10-4t，

由EF=CF可得：5t=10-4t，解得：，

∴≤t＜2时，△PEF与△ABD重叠的部分为四边形PFHG，

∵PE∥BC，

∴△APG∽△ABD，

∴，即，解得：PG=，

∵PE=AP=10-5t，

∴GE=10-5t-=，

∵EF∥AB，

∴∠EHG=∠BAD，

∴tan∠EHG=tan∠BAD，即，

∴，解得：GH=，

又∵∠PFE=∠EHG，则∠PFE=∠BAD

∴tan∠PFE=tan=∠BAD，即，解得：PF=，

∴，

综上所述：当0＜t≤时，；≤t＜2时，；

（4）①当PQ的中垂线过点B时，如图，即BE是PQ的中垂线，

∵四边形PBQE是平行四边形，BE垂直PQ，

∴平行四边形PBQE是菱形，

∴PE=BP，即5t=10-5t，解得：t=1，

②当PQ的中垂线过点A时，如图，连接AE，则AP=AQ=10-5t，

∵CQ=EQ=5t，

∴QD=CQ-CD=5t-2，

∴在Rt△AQD中，AD2+QD2=AQ2，即，解得：，

③当PQ的中垂线经过点C时，如图，连接PC，延长PF交BC于点K，

则CQ=PC，

∵∠EPF=90°，PE∥BC，

∴∠PKC=90°，

∵BK=4t，PK=3t，则CK=10-4t，

∴PC=，

又∵CQ=QE=BP=5t，

∴5t=，解得：，

综上所述：或或．