Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.点和点关于轴对称，点是线段上的一个动点.设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，，当点运动到何处时，面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标；

（3）在第问的前提下，在轴上找一点，使值最小，求出的最小值并直接写出此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当m=2时，即P运动到（2，0）时，△DQB面积最大，，△DQB的最大面积为24，此时Q（2，6）；（3）此时点E的坐标为（5，0）．

【解析】

（1）把点代入解析式联立方程组即可得到结果；

（2）先求出BD所在直线的解析式，设Q（m，），M（m，）可得，MQ，根据S△DBQ= S△DMQ +S△BMQ

可得出结果；

（3）过点E作EF⊥BD，垂足为F，根据当点Q、E、F在一条直线上时，有最小值即可得到结果；

（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（6，0），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式，

（2）令x=0，则y=3. ∴C（0，3）.

∵点C与点D关于x轴对称，

∴D（0，﹣3）

设直线BD的解析式为y=kx﹣3（k≠0）．

将（6，0）代入得：6k﹣3=0，

∴k=.

∴直线BD的解析式为．

∵直线l⊥x轴于点P，交抛物线于Q，交直线BD于点M，

且P（m，0），

∴Q（m，），M（m，），

∴MQ =，

，.

∴S△DBQ= S△DMQ +S△BMQ

∴当m=2时，即P运动到（2，0）时，△DQB面积最大，

此时Q（2，6），△DQB的最大值为24.

（3）在Rt△OBD中，OB=6，OD=3，则BD=，

∴sin∠OBD=．

过点E作EF⊥BD，垂足为F．

Rt△BFE中，

sin∠OBD= sin∠EBF=．

∴EF=BE．

∴．

∴当点Q、E、F在一条直线上时，有最小值．

∵S△DBQ ，

∴

解得

即的最小值为

此时点E的坐标为（5，0）．