Question

2．如图，直线AB交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于B、C两点，交y轴于A点，且AC=3AB，S_△AOC=6，求k．

Answer 1

分析 作BD⊥y轴于D，CE⊥y轴与E，由BD∥CE可判断△ABD∽△ACE，则$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，利用比例性质由AC=3AB，得$\frac{BD}{CE}$=$\frac{1}{3}$，AD=$\frac{1}{2}$DE，设BD=t，则CE=3t，由于B点和C点在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，则B点坐标为（t，$\frac{k}{t}$），C点坐标为（3t，$\frac{k}{3t}$），再根据S_△AOC=S_△ABD+S_梯形BDEC+S_△OEC=6，得到含k的方程，然后解方程即可得到k的值．

解答 解：作BD⊥y轴于D，CE⊥y轴与E，如图，
∵BD∥CE，
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，
而AC=3AB，
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{1}{3}$，AD=$\frac{1}{2}$DE，
设BD=t，则CE=3t，
∴B点坐标为（t，$\frac{k}{t}$），C点坐标为（3t，$\frac{k}{3t}$），
∴DE=$\frac{k}{t}$-$\frac{k}{3t}$=$\frac{2k}{3t}$，
∴AD=$\frac{k}{3t}$，
∵S_△AOC=S_△ABD+S_梯形BDEC+S_△OEC=6，
∴$\frac{1}{2}$t•$\frac{k}{3t}$+$\frac{1}{2}$（t+3t）•$\frac{2k}{3t}$+$\frac{1}{2}$•3t•$\frac{k}{3t}$=6，
∴k=3．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：了解反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式；掌握反比例函数的比例系数的几何意义；会运用相似三角形的判定与性质进行几何计算．