Question

14．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，延长CD到点C，使DG=BE，连结EF、AG，求证：EF=FG；
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=2，AB=AC，CN=3，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明EF=FG，只需证得△FAE≌△GAF，利用该全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN²=EC²+NC²即MN²=BM²+NC²．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，∵在△ABE和△ADG中，

$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ABE=∠ADG}\\{DG=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG=45°}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF=FG；


（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，

$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACE}\\{BM=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，

$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．
∴MN²=BM²+NC²．
∵BM=2，CN=3，
∴MN²=2²+3²，
∴MN=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．