题目内容

（1）如图，A₁，A₂，A₃是抛物线y= $数学公式$ x²图象上的三点，若A₁，A₂，A₃三点的横坐标从左至右依次为1，2，3．求△A₁A₂A₃的面积．
（2）若将（1）问中的抛物线改为y= $数学公式$ x²- $数学公式$ x+2和y=ax²+bx+c（a＞0），其他条件不变，请分别直接写出两种情况下△A₁A₂A₃的面积．
（3）现有一抛物线组：y₁= $数学公式$ x²- $数学公式$ x；y₂= $数学公式$ x²- $数学公式$ x；y₃= $数学公式$ x²- $数学公式$ x；y₄= $数学公式$ x²- $数学公式$ x；y₅= $数学公式$ x²- $数学公式$ x；…依据变化规律，请你写出抛物线组第n个式子y_n的函数解析式；现在x轴上有三点A（1，0），B（2，0），C（3，0）．经过A，B，C向x轴作垂线，分别交抛物线组y₁，y₂，y₃，…，y_n于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．记 $数学公式$ 为S₁， $数学公式$ 为S₂，…， $数学公式$ 为S_n，试求S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值．
（4）在（3）问条件下，当n＞10时有S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n的值不小于 $数学公式$ ，请探求此条件下正整数n是否存在最大值？若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵A₁（1， $\text{[math]}$ ），A₂（2，1），A₃（3， $\text{[math]}$ ），
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1ACA3-S_梯形A1ABA2-S_梯形A2BCA3= $\text{[math]}$ ．

（2）① $\text{[math]}$ ，
② $\text{[math]}$ ．

（3）由规律知： $\text{[math]}$ 或写成（ $\text{[math]}$ ），
由（1）（2）知：S₁+S₂+S₃+…+S₁₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（4）存在，
由上知：S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∵n＞10，
∴n²-9n-10＞0，
∴n²-9n-10≤242，
解得-12≤n≤21，
又∵n＞10，
∴10＜n≤21，
∴存在n的最大值，其值为n=21．
分析：（1）已知抛物线解析式，求出A₁，A₂，A₃三点的坐标，根据图中几何关系把所求三角形的面积，转化为一个大梯形面积减去两个小梯形的面积，从而求出三角形的面积．第二问与第一问解法一样；
（3）由y₁，y₂…y₅的表达式，归纳出y_n的表达式，同时推出面积公式S_n，然后求和．
（4）由（3）的结论，先求和再求n是否存在最大值．
点评：此题是一道规律题，考查抛物线基本性质，巧妙用几何关系，求三角形面积，归纳出规律然后求和，最后一问探究正整数n是否存在最大值，转化为求函数最值问题．