Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）π+．

【解析】

（1）连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定方法证明OD∥AC，则利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）过点O作OH⊥BD于H，如图，利用垂径定理得到BH=DH，再计算出∠AOD=60°，OH=1，BH=，然后利用扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S扇形AOD+S△OBD进行计算．

（1）证明：连接OD，如图，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（2）过点O作OH⊥BD于H，如图，则BH＝DH，

∵∠B＝∠D＝30°，

∴∠AOD＝∠B+∠ODB＝60°，OH＝OB＝1，

∴BH＝OH＝，

∴BD＝2BH＝2，

∴阴影部分的面积＝S扇形AOD+S△OBD

＝×2×1

＝π+．