Question

如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作圆，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，二次函数的图象经

过点A、B、C，顶点为E.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）设∠DBC＝a，∠CBE＝b，求sin（a－b）的值；

（3）坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 解：（1）为圆心，半径为

∴

∴

设二次函数的表达式为

解得：

∴ 二次函数表达式为

整理成一般式为

（2）过点E作EF⊥y轴于点F

 

∴可得

点E为二次函数的顶点

∴点E的坐标为

∴

∴∠OCB=∠ECF=45º

∴∠BCE=90º

在Rt△BCE中与Rt△BOD中，

，

∴∠CBE＝∠OBD＝b，

∴ sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝

（3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0）

过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，由Rt△CAP₂ ∽Rt△BCE，得

过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）

故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），，P₃（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似