Question

9．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA、PB，若PB=4，则PA的长为3或$\sqrt{73}$．

Answer 1

分析 连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB²+PB²=CP²，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=$\sqrt{73}$，从而得到满足条件的PA的长为3或$\sqrt{73}$．

解答 解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB²+PB²=CP²，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∴PA的长为3或$\sqrt{73}$．
故答案为3或$\sqrt{73}$．

点评 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了垂径定理和勾股定理．