Question

16．如图，抛物线y=mx²-4mx的图象于x轴交于点O，A，已知直线l的解析式为y=kx（k＜0），点A关于l的对称点为点B，
（1）填空：点A的坐标是（4，0）；
（2）求点B的坐标（用含k的代数式表示）；
（3）若点B在抛物线上，点P在此抛物线的对称轴上，且四边形AOBP为平行四边形，求此抛物线的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程即可；
（2）设B（m，n），过点A垂直y=kx的直线的解析式为y=-$\frac{1}{k}$x+b，利用方程组求出解交点坐标，再利用中点坐标公式，列出方程组求出m、n即可解决问题；
（3）由题意可知点B的横坐标为-2，列出方程即可求解；

解答 解：（1）对于抛物线令y=0，则有mx²-4mx=0，解得x=0，或4，
∴A（4，0），
故答案为（4，3）．

（2）设B（m，n），过点A垂直y=kx的直线的解析式为y=-$\frac{1}{k}$x+b，
把A（4，0）代入得到0=-$\frac{4}{k}$+b，
∴b=$\frac{4}{k}$，
∴y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{4}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{k}x+\frac{4}{k}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{4k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∵A、B关于y=kx对称，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+4}{2}=\frac{4}{1+{k}^{2}}}\\{\frac{n+0}{2}=\frac{4k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}\\{n=\frac{8k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{8k}{1+{k}^{2}}$）．

（3）如图，

∵四边形AOBP是平行四边形时，
∴OA=PB=4，
∵抛物线的对称轴x=2，
∴点B的横坐标为-2，
∴$\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=-2，
∴k=±$\sqrt{3}$，
∵k＜0，
∴k=-$\sqrt{3}$，
∴B（-2，-2$\sqrt{3}$），
把B（-2，-2$\sqrt{3}$）代入y=mx²-4mx得到，-2$\sqrt{3}$=4m+8m，
∴m=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用．两直线垂直的条件，中点坐标公式，二次一次方程组．平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数利用方程组求交点坐标，属于中考压轴题．