Question

15．如图，已知矩形ABCD．
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作对角线BD的垂直平分线l，交AD、BC于点M、N，与BD相交于点O；
②连接BM、DN．
（2）判断四边形BMDN的形状，并说明理由．
（3）若AB=4，AD=8，求MD的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的作法画出图形即可；
（2）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（3）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM²=AM²+AB²，即可列方程求得．

解答 解：（1）如图所示：
（2）四边形BMDN是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDO=∠NBO}&{\;}\\{BO=DO}&{\;}\\{∠MOD=∠NOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形．
（3）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM²=AM²+AB²
即x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
即MD长为5．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．