Question

如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心、OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H。

（1）求证：AE＝CK

（2）若AB＝a，AD＝a（a为常数），求BK的长（用含a的代数式表示）。

（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3），6．

【解析】

试题分析：（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；

（2）根据勾股定理求得AC的长，根据三角形的面积公式得出AB×BC=AC×BK，代入即可求得BK．

（3）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE=AC，然后即可求得AC即可．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAE=∠BCK，

∵BK⊥AC，DH∥KB，

∴∠BKC=∠AED=90°，

∴△BKC≌△ADE，

∴AE=CK；

（2）【解析】
∵AB=a，AD=a=BC，

∴

∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，

∴BK=

（3）连结OG，

∵AC⊥DG，AC是⊙O的直径，DE=6，∴DE=EG=6，

又∵EF=FG，∴EF=3；

∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，

在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，

∴EF是△ABK的中位线，

∴AF=BF，AE=EK=KC；

在Rt△OEG中，设OG=r，则OE=，EG=6，，

∴，

∴．

连接BG可得△BGF≌△AEF，AF=BF，△ADF≌△BHF

∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，

∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．三角形中位线定理；4．垂径定理．