Question

如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S₁为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S₂，S₃，…S_n（n为正整数），那么第n个正方形S_n的面积=

 

．

Answer 1

分析：根据正方形的性质易得：正方形的对角线是正方形的边长的

2

倍；进而根据题意，找到第二个正方形与第一个正方形面积的关系，依此类推，可得第n个正方形S_n的面积．

解答：解：根据勾股定理得：正方形的对角线是正方形的边长的

2

倍；
即第二个正方形的面积是第一个正方形面积的2倍，即是2，…
依此类推第n个正方形的面积是上一个正方形面积的2倍，即2×2×2…×2（n-1个2）=2^n-1．
故答案为2^n-1．

点评：本题要求学生能够根据勾股定理得到前后正方形的边长之间的关系，进一步得到面积之间的关系．从而找到规律．