Question

如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S₁为1，按上述方法所作的正方形的面积依此为S₂，S₃，…，S_n（n为正整数），那么第8个正方形的面积S₈=

128

．

Answer 1

分析：根据下一个正方形的边长等于前一个正方形的对角线，再利用正方形的对角线等于边长的

2

倍，然后根据正方形的面积公式依次进行求解，从而得到面积的变化规律，即可得解．

解答：解：∵正方形ABCD的面积S₁为1，
∴S₁=AB²=1，
∵正方形ACEF的边长是AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC=

2

AB，
∴正方形ACEF的面积S₂=AC²=（

2

AB）²=2AB²=2，
∵正方形ACEF的对角线AE是正方形AEGH的边长，
∴AC=

2

AC，
∴正方形AEGH的面积S₃=AE²=（

2

AC）²=2AC²=2²，
∵正方形AEGH的对角线HE是正方形HEIJ的边长，
∴HE=

2

AE，
∴正方形AEGH的面积S₄=HE²=（

2

AE）²=2AE²=2³，
…，
依此类推，S_n=2^n-1，
∴第8个正方形的面积S₈=2⁷=128．
故答案为：128．

点评：本题考查了正方形的对角线等于边长的

2

倍的性质，正方形的面积公式，依次求解得到面积的变化规律，从而得到第n个正方形的面积的表达式是解题的关键．