Question

12．已知一次函数y₁=k₁x+b与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于点A、B，与y轴交于点C，与x轴交于D，过点A作AE⊥x轴于点E，点O为DE中点，连接CE，已知S_△ADE=4，tan∠DCO=$\frac{1}{2}$．
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）将△ACE绕着点E顺时针旋转90°得△A′C′E，连接AA′、BA′，求△AA′B的面积．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠DCO=$\frac{1}{2}$设OD=a，OC=2a，根据S_△ADE=4列式求出a的值，分情况讨论：分别写出D、C、A三点的坐标，对应求出解析式即可；
（2）分两种情况计算面积：先计算点B的坐标，过B作BF⊥x轴于F，求出BF的长为2，①当k₁＞0，k₂＞0时，如图3，根据S_△AA′B=S_△ADA′+S_△A′DB，代入计算即可；②当k₁＜0，k₂＜0时，如图4，过B作BF⊥x轴于F，同理可求得△AA′B的面积．

解答 解：（1）∵tan∠DCO=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$
设OD=a，OC=2a
∵点O为DE中点，OC∥AE
∴OD=OE，△DOC∽△DEA
∴$\frac{{S}_{△DOC}}{{S}_{△DEA}}$=$\frac{1}{4}$
∵S_△ADE=4，
∴S_△DOC=1
则$\frac{1}{2}$OC•OD=1
$\frac{1}{2}$a•2a=1，a=±1，
分两种情况：
①如图1，D（-1，0）、C（0，2）、A（1，4），
把D（-1，0）、C（0，2）代入y₁=k₁x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y₁=2x+2，
把A（1，4）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$得：k₂=1×4=4，
∴y₂=$\frac{4}{x}$，
②如图2，D（1，0）、C（0，2）、A（-1，4），
把D（1，0）、C（0，2）代入y₁=k₁x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y₁=-2x+2，
把A（-1，4）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$得：k₂=-1×4=-4，
∴y₂=-$\frac{4}{x}$，
（2）分两种情况：
①当k₁＞0，k₂＞0时，如图3，过B作BF⊥x轴于F，
由旋转得：A′E=AE=4，则A′D=OD+OE+A′E=1+1+4=6，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$        解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴B（-2，-2），
∴BF=2，
∴S_△AA′B=S_△ADA′+S_△A′DB，
=$\frac{1}{2}$A′D•AE+$\frac{1}{2}$A′D•BF，
=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×6×2，
=18；
②当k₁＜0，k₂＜0时，如图4，过B作BF⊥x轴于F，
同理得：BF=2，
则A′D=A′E-OE-OD=4-1-1=2，
∴S_△AA′B=S_△ADA′+S_△A′DB，
=$\frac{1}{2}$A′D•AE+$\frac{1}{2}$A′D•BF，
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2，
=6；
综上所述，△AA′B的面积为18或6．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用解析式组成方程组，求出解即是交点坐标；同时还考查了坐标与图形变换--旋转，熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两线段相等；注意在求三角形面积时，将不规则的三角形化为几个三角形面积的和来求，比较简单．