Question

1．如图（1），形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm，矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC的重叠部分的面积为S（cm²）．当x=0（s）时，点E与点C重合．

（1）当x=3时，如图（2），S=36cm²，当x=6时，S=54cm²，当x=9时，S=18cm²；
（2）当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
（3）思考：当3＜x＜6时，是否存在某一x的值，使得S=46，并求出此时x的值；
（4）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

Answer 1

分析 （1）根据题意画图图形，然后由矩形的面积公式或者进行计算；
（2）当3＜x＜6时，重叠部分是不规则的四边形，不能直接用x表示，要采用面积的分割法来求，先求S_△ABC，S_△AMN，再求S_△BEH，然后求重叠部分的面积；
（3）将S=46代入（2）的函数关系式中，解方程即可．
（4）切点在线段AB上，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质进行解答

解答 解：（1）当x=3时，CE=6cm．
如图2所示，
则S=CE•EF=6×6=36（cm²）；
当x=6时，CE=12cm．
如图3所示，

∵DG=6，AD=12，且GH∥BC
∴GH是△ACB的中位线，
阴影部分为四边形GHBD，四边形GHBD为直角梯形，则
S=$\frac{GH+CE}{2}$=54（cm²）
当x=9时，CE=18cm．
如图4所示，

∵∠ODG=90°，∠DOG=45°，
∴阴影部分△GDO是等腰直角三角形，则S=$\frac{1}{2}$OD•GD=$\frac{1}{2}$×6×6=18（cm²）．
故答案分别是：36；54；18；

（2）如图5，

设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H，与直角边AC的交点为M；
∴S=S_△ABC-S_△AMN-S_△BHE=$\frac{1}{2}$×12×12-$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{1}{2}$×（12-2x）²=-2x²+24x-18，
∴当3＜x＜6时，S=-2x²+24x-18．
（3）假设存在，
由（2）知，当3＜x＜6时，S=-2x²+24x-18，
∵S=46，
∴46=-2x²+24x-18，
∴x=8（舍）或x=4．
即：存在时间t=4秒时，使得S=46．
（4）如图7，

过点O作OD⊥AB于点P，由题意得OP=6cm；
∵∠ABC=45°，∠OPB=90°，
∴OB=$\sqrt{2}$OP=6$\sqrt{2}$cm，
∴x=$\frac{6+12-6\sqrt{2}}{2}$=9-3$\sqrt{2}$（s）．
即：x═9-3$\sqrt{2}$（s）时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切．

点评 本题考查了圆的综合题．主要考查的切线的性质，三角形中位线，几何图形面积的计算方法，解本题的关键是确定出当3＜x＜6时，S=-2x²+24x-18．是一道数形结合的比较好的试题．