Question

16．如图MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，C为AM的中点，过C点作BC∥MN交⊙O于点B．
求证：$\widehat{MB}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{AM}$．

Answer 1

分析 先作出辅助线，延长BC交AO于点D．由C为AM的中点，BC∥MN，可得出CD为△AMO的中位线，即可得到AD，OD与AO的关系，从而得出OD=$\frac{1}{2}$BO，在Rt△BDO中，利用特殊三角形可得出∠OBD=30°，得∠BOM=30°，即可得出$\widehat{MB}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{AM}$．

解答 解：如图，延长BC交AO于点D．
∵C为AM的中点，BC∥MN，
∴AD=OD=$\frac{1}{2}$AO，
∴OD=$\frac{1}{2}$BO，
∵OA⊥MN，
∴∠AOM=90°，
∴∠BDO=90°，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOM=30°，
∴$\widehat{MB}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{AM}$．

点评 本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用含有30°的直角三角形的知识．