Question

1．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）直接写出线段AB、AD、DF的关系；
（3）若AB=15，AD=7，BC=5，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）由Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），推出AF=AE，由Rt△BCE≌Rt△DCF，推出DF=BE，即可推出AB-AD=（AE+EB）-（AF-DF）=2DF，
（3）利用（2）中结论，求出EB，在Rt△EBC中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（2）解：结论：AB-AD=2DF，
理由：∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CE⊥AE，
∴CF=CE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF=AE，
∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=BE，
∴AB-AD=（AE+EB）-（AF-DF）=2DF，

（3）解：∵AB=15，AD=7，
∴2DF=AB-AD=8，
∴DF=EB=4，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∴EC=3．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和Rt△ACF≌Rt△ACE是解题的关键．