Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，

8

3

3

）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；
（3）如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T，N两点，
①当∠DNT=90°时，直接写出

1

DN

+

1

DT

的值；
②当直线TN绕点M旋转时，
试说明：△DNT的面积S_△DNT=

3

4

DN•DT；
并猜想：

1

DN

+

1

DT

的值是否是定值？说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点的坐标直接运用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，然后再化成顶点式就可以求出顶点坐标；
（2）分情况讨论根据相似三角形的性质就可以求出点G的坐标；
（3）①运用直角三角形的性质和勾股定理的运用求出DN、DT的值就可以求出结论；
②作NH⊥DT于H，可以表示出S_△DNT=

1

2

DT．NH就可以得出S_△DNT═

1

2

DT．DN．sin60°，从而得出S_△DNT=

3

4

DT．DN．再由S_△DNT=S_△DMT+S_△DMN，就有

3

4

DT．DN=

1

2

×DT•

1

2

DM+

1

2

DN•

1

2

DM，可以得出DT．DN=3（DT+DN），进而得出结论．

解答：解：∵抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-4），
∵此抛物线与y轴交于点C（0，

8

3

3

），
∴

8

3

3

=a（0+2）（0-4），
解得：a=-

3

3

，
∴抛物线的解析式为：y=-

3

3

（x+2）（x-4），
即y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

8 3

3

=-

3

3

（x-1）²+3

3

，
故顶点D的坐标为：（1，3

3

）；

（2）设直线CD的解析式为：y=kx+b，
则

b= 8 3 3 k+b=3 3

，
解得：

k= 3 3 b= 8 3 3

，
故直线CD的解析式为：y=

3

3

x+

8

3

3

，
则点E的坐标为：（-8，0），点F的坐标为：（4，4

3

），
则OE=8，BF=4

3

．
∵C（0，

8

3

3

），B（4，0），
∴OC=

8

3

3

，OB=4，
∴EB=12，
∴由勾股定理得：
EF=8

3

，CE=

16

3

3

．
∴CF=

8

3

3

．
如图1，过点F作FG⊥y轴于点G，则△COE∽△CGF，此时点G的坐标为：（0，4

3

）；
如图2，过点F作GF⊥CD，交y轴于点G，则△COE∽△CFG，
∴

CE

CG

=

CO

CF

，
∴

16 3 3

CG

=

8 3 3

8 3 3

，
∴CG=

16

3

3

．
∴OG=8

3

，
∴点G的坐标为：（0，8

3

）；
若CG⊥FG，则△COE∽△CGF，
∴

GF

OE

=

CG

CO

=

CF

CE

，
∴

GF2

OE2

=

CG2

CO2

=

CF2

CE2

．
设G（x，y），由两点间的距离公式为：
CG²=x²+（y-

8

3

3

）²=x²+y²+

64

3

-

16

3

3

y，
GF²=（x-4）²+（y-4

3

）²=x²+16-8x+y²+48-8

3

y，
CF²=

64

3

，OE²=64，CE²=

256

3

，OC²=

64

3

，

x2+16-8x+y2+48-8 3 y 64 = 64 3 256 3 x2+y2+ 64 3 - 16 3 3 y 64 3 = 64 3 256 3

，
变形为：

x2-8x+y2-8 3 y=-48 x2+y2- 16 3 3 y=-16

，
解得：

x1=0 y1=4 3

，

x2=2 y2=2 3

（舍去）．
∴G（0，4

3

）．
综上所述G点的坐标是：（0，4

3

）、（0，8

3

）．

（3）①∵抛物线是轴对称图形，DM是对称轴，
∴DA=DB，
∵tan∠DAB=

DM

AM

=

3 3

1-(-2)

=

3

∴∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ADB=60°．
∵∠DNT=90°，
∴∠DTN=∠MDN=30°，
∴DN=4.5，DT=9，
∴

1

DN

+

1

DT

=

1

4.5

+

1

9

=

1

3

．
②

1

DN

+

1

DT

=

1

3

理由：作NH⊥DT于H，
∵S_△DNT=

1

2

DT•NH
∴S_△DNT═

1

2

DT•DN•sin60°
∴S_△DNT=

3

4

DT•DN．
∵S_△DNT=S_△DMT+S_△DMN，
∴

3

4

DT•DN=

1

2

×DT•

1

2

DM+

1

2

DN•

1

2

DM，
∴

3

4

DT•DN=

1

2

×DT•

1

2

×3

3

+

1

2

DN•

1

2

×3

3

，
∴

3

4

DT•DN=

3 3

4

（DT+DN），
∴DT•DN=3（DT+DN），
∴

1

DN

+

1

DT

=

1

3

．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的三角函数值的运用，三角形的面积公式的运用，抛物线的性质的运用，解答时合理利用三角形的面积公式是关键．