Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长（小于AB的长）为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的中垂线上；
（2）如果△ACD的面积为1，求△ADB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
（2）利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比进而求出答案．

解答 （1）证明：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
根据作图方法可知，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．

（2）解：∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴BC=CD+BD=$\frac{1}{2}$AD+AD=$\frac{3}{2}$AD，S_△DAC=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{4}$AC•AD．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AC•$\frac{3}{2}$AD=$\frac{3}{4}$AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=$\frac{1}{4}$AC•AD：$\frac{3}{4}$AC•AD=1：3，
∴S_△DAC：S_△ABD=1：2，
∵△ACD的面积为1，
∴△ADB的面积为：2．

点评 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．