Question

15．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是$\widehat{AC}$的中点，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明OC∥AD即可解决问题．
（2）只要证明四边形AECO是菱形，∠DEC=∠DAO=60°，根据S_阴影=S_△DEC=即可解决问题．

解答 解：（1）CD与圆O相切，理由如下：
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
则CD与圆O相切；                                
（2）连接EB，交OC于F，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴EB∥CD，
∵CD与⊙O相切，C为切点，
∴OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠EAC=∠ACO，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ECA=∠OAC，
∴EC∥OA，
∴四边形AECO是平行四边形，∵OA=OC，
∴四边形AECO是菱形，
∴AE=EC=OA=OC=2，易知∠DEC=∠DAO=60°，
∴DE=$\frac{1}{2}$EC=1，DC=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$
∵点O为AB的中点，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE=1，即CF=DE=1，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=$\sqrt{3}$，
则S_阴影=S_△DEC=$\frac{1}{2}$•DE•DC=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，角平分线性质，以及扇形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．