如图1.已知抛物线C1:y=ax2-2的顶点为点P.交x轴于A.B两点.且sin∠ABP=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．(1)求抛物线的函数解析式,(2)过点A的直线交第一象限的抛物线于点C.交y轴于点D.若△ABC的面积被y轴分为1:5两个部分.求直线AC的解析式,(3)如图2.将抛物线C1绕顶点P旋转180°得到抛物线C2.Q为y轴负半轴上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图1，已知抛物线C₁：y=ax²-2的顶点为点P，交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），且sin∠ABP=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点A的直线交第一象限的抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1：5两个部分，求直线AC的解析式；
（3）如图2，将抛物线C₁绕顶点P旋转180°得到抛物线C₂，Q为y轴负半轴上的一点，过点Q任作直线交旋转后的抛物线C₂于M、N两个不同点，是否存在这样的点Q，使得∠MPN恒为直角？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）通过抛物线解析式易求P（0，-2），通过解直角三角形和抛物线的对称性易求点A、B的坐标，利用两个点的坐标来求抛物线解析式；
（2）如图1，过C作CE⊥x轴于E，构建相似三角形：△AOD∽△AEC，利用该相似三角形的对应边成比例求得AE=9，则OE=6．利用（1）中的抛物线解析式易求点A、C的坐标，利用待定系数法易求直线AC的解析式为：$y=\frac{2}{3}x+2$；
（3）存在．设Q（0，b），M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），直线MN的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
如图2，由二次函数图象的几何变换求得抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{2}{9}$x²-2．抛物线C₂与直线方程联立方程组，由根与系数的关系得到：x₁+x₂=-$\frac{9}{2}$k，x₁•x₂=$\frac{9}{2}$（b+2）
分别过M、N作y轴的垂线段ME、NF，垂足分别为E、F，构建相似三角形△MPE∽△PNF，由该相似三角形的对应边成比例推知x₁x₂=$\frac{9}{2}$，则b+2=-$\frac{81}{4}$，可以求得b的值，所以点Q的坐标（0，-$\frac{13}{2}$）．

解答解：（1）∵sin∠ABP=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，P（0，-2），
∴OB=3，
∴B（3，0），A（-3，0），
∴9a-2=0，解得 a=$\frac{2}{9}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{2}{9}$x²-2；

（2）如图1，过C作CE⊥x轴于E，
∵S_△AOD=$\frac{1}{6}$S_△ABC，AB=2OA，
∴CE=3OD．
∵△AOD∽△AEC，
∴$\frac{OD}{CE}=\frac{OA}{AE}=\frac{1}{3}$．
∵OA=3，
∴AE=9，
∴OE=6．
在y=$\frac{2}{9}$x²-2中，令x=6，则y=6，
∴C（6，6）．
∵A（-3，0），
∴直线AC的解析式为：$y=\frac{2}{3}x+2$；

（3）答：存在．设Q（0，b） M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）直线MN的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
由题意可知，抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{2}{9}$x²-2
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ y=-\frac{2}{9}{x^2}-2\end{array}\right.$得：$\frac{2}{9}$x²+kx+b+2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{9}{2}$k，x₁•x₂=$\frac{9}{2}$（b+2）．
分别过M、N作y轴的垂线段ME、NF，垂足分别为E、F
∵∠MPN=90°，
∴易证△MPE∽△PNF，
∴$\frac{ME}{PF}=\frac{PE}{NF}$
∴（-2-y₁）（-2-y₂）=-x₁x₂．
∵-2-y₁=$\frac{2}{9}$x₁²-2-y₂=$\frac{2}{9}$x₂²
∴$\frac{4}{81}{x_1}^2{x_2}^2=-{x_1}{x_2}$．
∵b≠-2，
∴x₁x₂≠0，
∴x₁x₂=$\frac{9}{2}$（b+2）=-$\frac{81}{4}$，
∴b=-$\frac{13}{2}$，
∴Q（0，-$\frac{13}{2}$）．