Question

【题目】在中，，，以点为圆心、为半径作圆，设点为⊙上一点，线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接、．

（1）在图中，补全图形，并证明 .

（2）连接，若与⊙相切，则的度数为 .　

（3）连接，则的最小值为 ；的最大值为 .

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或 ；（3）

【解析】

（1）根据题意，作出图像，然后利用SAS证明，即可得到结论；

（2）根据题意，由与⊙相切，得到∠BMN=90°，结合点M的位置，即可求出的度数；

（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，分别求出BN的值，即可得到答案.

解：（1）如图，补全图形，

证明：

，

∵，

，

；

（2）根据题意，连接MN，

∵与⊙相切，

∴∠BMN=90°，

∵△MNC是等腰直角三角形，

∴∠CMN=45°，

如上图所示，∠BMC=；

如上图所示，∠BMC=；

综合上述，的度数为：或；

故答案为：或；

（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；如图所示，

∵AN=BM=1，

∵，

∴；

当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，如图所示，

由AN=BN=1，

∴BN=BA+AN=2+1=3；

∴的最小值为1；的最大值为3；

故答案为：1，3.