Question

【题目】在中，，，，设，．

（1）如图1，当点在内，

①若，求的度数；

小明同学通过分析已知条件发现：是顶角为的等腰三角形，且，从而容易联想到构造一个顶角为的等腰三角形．于是，他过点作，且，连接，发现两个不同的三角形全等：_____________再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出的度数

请利用小王同学分析的思路，通过计算求得的度数为_____；

②小王在①的基础上进一步进行探索，发现之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．

（2）如图2，点在外，那么之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△BAD，△CAP， 63°；②β﹣α＝90°；（2）改变，α+β＝90°．

【解析】

（1）①先证明△BAD≌△CAP，根据全等三角形的性质得到CP＝BD，根据等腰三角形的性质解答；②仿照①的作法解答即可；

（2）过点A作，且AD＝AP，连接DP，DB，证明△BAD≌△CAP，根据全等三角形的性质得到PC＝BD，结合图形计算即可．

解：（1）①∵，，

∴∠BAC＝∠DAP，

∴∠BAD＝∠CAP，

在△BAD和△CAP中，

，

∴△BAD≌△CAP（SAS），

∴BD＝CP，∠BDA＝∠APC，

∵，

∴BD＝，

如图，过点A作AH⊥DP，垂足为点H，

∵，且，

∴∠APD＝∠ADP＝30°，

在Rt△APH中，cos∠APH=,

∴cos30°=,

∴

∵，AH⊥DP，

∴DP＝2PH＝，

∴BD＝DP，

∴∠BPD＝∠PBD，

∵，，，

∴

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝

∴∠BDP＝，

∴∠BDA＝∠BDP+∠ADP＝，

∵∠BDA＝∠APC，

∴，

∴，

故答案为：△BAD，△CAP， 63°；

②β﹣α＝90°，

理由如下：由①得

∵，，

∴，

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝，

∴∠BDP＝，

∴∠BDA＝∠BDP+∠ADP＝，

∵∠BDA＝∠APC，

∴，

∴β﹣α＝90°，

（2）改变，α+β＝90°，理由如下：

过点A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，连接DP，DB，过点A作AH⊥DP，垂足为点H，

∵，，

∴∠BAC＝∠DAP，

∴∠BAD＝∠CAP，

在△BAD和△CAP中，

，

∴△BAD≌△CAP（SAS），

∴BD＝CP，∠BDA＝∠APC，

∵，

∴BD＝，

∵，且，

∴∠APD＝∠ADP＝30°，

在Rt△APH中，cos∠APH=,

∴cos30°=,

∴

∵，AH⊥DP，

∴DP＝2PH＝，

∴BD＝DP，

∴∠BPD＝∠PBD，

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝∠APB+∠APD＝+30°，

∵，，

∴∠ADB＝，

又∵∠ADP＝30°，

∴∠BDP＝∠ADB+∠ADP＝+30°,

∵∠BPD+∠PBD+∠BDP＝180°,

∴+30°++30°++30°＝180°,

∴α+β＝90°，

∴α、β之间的数量关系改变为α+β＝90°．