Question

19．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．

Answer 1

分析 （1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；
②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4-x，在Rt△BDC中，可得x²=（4-x）²+2²，推出x=$\frac{5}{2}$，推出DN=$\sqrt{B{D}^{2}-B{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，由△BDN∽△BAM，可得$\frac{DN}{AM}$=$\frac{BD}{AB}$，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AD}{AP}$，由此求出AE=$\frac{16}{5}$，可得EC=AC-AE=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$由此即可解决问题．

解答 解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AD=CD=2，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由翻折可知，BP=BA=2$\sqrt{5}$．

②如图1中，

∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°-45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，
∴四边形BCPD是平行四边形．

（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．

设BD=AD=x，则CD=4-x，
在Rt△BDC中，∵BD²=CD²+BC²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∵DB=DA，DN⊥AB，
∴BN=AN=$\sqrt{5}$，
在Rt△BDN中，DN=$\sqrt{B{D}^{2}-B{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由△BDN∽△BAM，可得$\frac{DN}{AM}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{AM}$=$\frac{\frac{5}{2}}{2\sqrt{5}}$，
∴AM=2，
∴AP=2AM=4，
由△ADM∽△APE，可得$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AD}{AP}$，
∴$\frac{2}{AE}$=$\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
∴AE=$\frac{16}{5}$，
∴EC=AC-AE=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
易证四边形PECH是矩形，
∴PH=EC=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查四边形综合题、勾股定理．相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．