Question

2．如图（1），△ABO为正三角形，B（2，0），过C（m，0）作直线l交AO于D，交AB于E．
（1）若CD=DE，求证：AE=OC；
（2）若S_△ADE=S_△DOC，且m=-2，求直线l的函数解析式；
（3）如图（2），OD+BE=DE，∠ODE与∠BED的平分线交于点F，求F点的坐标．

Answer 1

分析 （1）作出辅助线，先判断出△DGE≌△DOC，得出EG=OC，再判断出EG=AE即可；
（2）根据S_△DCO=S_△ADE可知S_△DCO+S_{四边形DOBE}=S_△ADE+S_{四边形DOBE}，从而得到S_△BCE=S_△AOB，
根据△AOB为正三角形求出三角形的高，从而求出A点坐标，根据待定系数法求出AB的解析式，根据S_△BCE=S_△AOB，求出A点纵坐标，代入直线AB，可得E点横坐标，再利用待定系数法求出CD的解析式；
（3）作出辅助线先判断出△FDO≌△FDN，进而判断出FO=FB，再求出∠OFB=30°，用等腰三角形的旋转求出点F的坐标．

解答 解：（1）如图（1），

过点E作EG∥OB，
∴∠AGE=∠AOB，
∴∠DGE=∠DOC，
在△DGE和△DOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠DOC}\\{∠GDE=∠ODC}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△DOC，
∴EG=OC，
∵△AOB是等边三角形，EG∥OB，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE=EG=OC，
（2）∵m=-2，
∴C（-2，0）
∵S_△DCO=S_△ADE，
∴S_△DCO+S_{四边形DOBE}=S_△ADE+S_{四边形DOBE}，
∴S_△BCE=S_△AOB，
∵△AOB为正三角形，B坐标为（2，0）知其边长为2，高为$\sqrt{3}$，
∴点A（1，$\sqrt{3}$）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
设E（x₀，y₀），则S_△CBE=$\frac{1}{2}$×4×y₀=2y₀，
∵2y₀=$\sqrt{3}$，
∴y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由点A（1，$\sqrt{3}$），B（2，0）得直线AB解析式为y=-$\sqrt{3}$（x-2），
而E在直线AB上，则y₀=-$\sqrt{3}$（x₀-2），
可得，x₀=$\frac{3}{2}$，
∴点E（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又∵点C（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{7}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{7}}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{7}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{7}$．
（3）如图（2），

连接FB，FO，在DE上截取DN=DO，
∵OD+BE=DE，DE=DN+EN，
∴EN=EB，
∵∠ODE与∠BED的平分线交于点F，
∴∠ODF=∠NDF
在△FDO和△FDN中$\left\{\begin{array}{l}{DO=DN}\\{∠ODF=∠NDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△FDN，
∴∠DFO=∠DFN，FO=FN，
同理：∠NFE=∠BFE，FN=FB，
∴FO=FB，
∵∠DFE=90°-$\frac{1}{2}$∠A=60°，
∴∠OFB=2∠DFE=120°，
∴∠BOF=30°，
过点F作FM⊥OB，
∴OM=$\frac{1}{2}$OB=1，
在Rt△OMF中，tan30°=$\frac{FM}{OM}$=$\frac{FM}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴F（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形，等腰三角形的判定和性质，角平分线的应用，解本题的关键是S_△BCE=S_△AOB，和判断出FO=FB．