题目内容
如图，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=| 3 |
| 5 |
（1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；
（2）当GF运动到△ABC外时，EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的
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（3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．
分析：（1）根据题意作辅助线，然后根据相似三角形比例关系即可得出t的值；
（2）根据题意将三角形面积用t表示出来，然后解方程即可；
（3）分两种情况讨论得出答案．
（2）根据题意将三角形面积用t表示出来，然后解方程即可；
（3）分两种情况讨论得出答案．
解答：解：过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．
∵AB=10，sinB=
，
∴AM=ABsinB=6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
=
，即
=
=
，
∴DE=
t，AN=
t，MN=6-
t．
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，
DE=DG=MN，即
t=6-
t，
∴t=
，
∴当t=
时，正方形DEFG的边GF在BC上；
（2）当GF运动到△ABC外时，如图2，
S△CEP+S△BDQ=
PC•PE+
BQ•DQ=
(PC+BQ)MN
=
(BC-DE)MN=
(12-
t)(6-
t)
S△ABC=
BC•AM=
×12×6=36
令
（12-
t）（6-
t）=
×36，
解得t1=15（舍去），t2=5，
∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的
；
（3）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图3，
S=DE2=（
t）2=
t2，此时t的范围是0≤t≤
，
当t=
时，S的最大值为16．
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图2，S=DE•MN=
t（6-
t）=-
t2+
t，此时t的范围是
＜t≤10，
∵-
＜0，∴当t=5时，S的最大值为18，
∵18＞16，∴S的最大值为18．
∵AB=10，sinB=
| 3 |
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∴AM=ABsinB=6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
| AD |
| AB |
| DE |
| BC |
| AN |
| AM |
| t |
| 10 |
| DE |
| 12 |
| AN |
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∴DE=
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（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，
DE=DG=MN，即
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∴t=
| 10 |
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∴当t=
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（2）当GF运动到△ABC外时，如图2，
S△CEP+S△BDQ=
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S△ABC=
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令
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解得t1=15（舍去），t2=5，
∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的
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（3）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图3，
S=DE2=（
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当t=
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②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图2，S=DE•MN=
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| 36 |
| 5 |
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| 3 |
∵-
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| 25 |
∵18＞16，∴S的最大值为18．
点评：本题主要考查了作辅助线、相似三角形的证明及性质、二次函数最值及正方形的性质，难度较大．
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