题目内容
【题目】如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
(1)请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系 ；
(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系 ；
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)PM=PN，PM⊥PN；(2)PM=PN，PM⊥PN；(3)PM=kPN，证明见解析.
【解析】
（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE＝BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM＝PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；
（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；
（3）PM＝kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD＝kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM
BD，PNAE，进而可证明PM＝kPN．
（1）PM＝PN，PM⊥PN．理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．
在△ACE和△BCD中，
∵
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD．
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PMBD，PNAE，
∴PM＝PN．
∵PM∥BD，PN∥AE，
∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC．
∵∠EAC+∠BDC＝90°，
∴∠MPA+∠NPD＝90°，
∴∠MPN＝90°，即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．
又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，
∴∠BHO＝∠ACO＝90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PMBD，PM∥BD；PNAE，PN∥AE，
∴PM＝PN，
∴∠MGE+∠BHA＝180°，
∴∠MGE＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN．
（3）PM＝kPN．
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD．
∵BC＝kAC，CD＝kCE，
∴
k，
∴△BCD∽△ACE，
∴BD＝kAE．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PMBD，PNAE，
∴PM＝kPN．
【题目】某校九年级(8)课外活动设置了如图所示的翻牌游戏，每次抽奖翻开一个数字，考虑“第一个人中奖排球”的机会．
正面
1 | 2 | 3 |
4 | 5 | 6 |
7 | 8 | 9 |
反面
排球 | 钢笔 | 图书 |
铅笔 | 空门 | 书包 |
球拍 | 小刀 | 篮球 |
(1)如果用实验进行估计，但制作翻奖牌没有材料，那么你有什么简便的模拟实验方法？
(2)如果不做实验，你能估计“第一个人中奖排球”的机会是多少？
