Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，恰与CD相切于点E，连接OD、OC、BE．求证：OD∥BE．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：连接OE，可证明△AOD≌△EOD，结合条件可证明∠AOD=∠OBE，可证得OD∥BE．

解答：证明：如图，连接OE，

∵DA，DC是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，OE⊥CD，且DA=DE，
在Rt△AOD和Rt△EOD中，

DA=DE OD=OD

，
∴Rt△AOD≌Rt△EOD（HL），
∴∠AOD=∠DOE，
又∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
又∵∠AOE=∠OBE+∠OEB，
即2∠AOD=2∠OBE，
∴∠AOD=∠OBE，
∴OD∥BE．

点评：本题主要考查切线的性质及平行线的判定，利用切线长定理证明三角形全等得到角相等是解题的关键，注意外角性质的利用．