Question

如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，PC=6

3

，则图中阴影部分的面积为

 

（结果保留π）．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：连接OC．根据圆周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得∠P=30°，即可证明AC=AP，再根据阴影部分的面积即为Rt△OCP的面积减去扇形OCB的面积，计算即可．

解答：解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴AO=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠COP=2∠ACO=60°．
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC．
∴∠P=30°．
∴∠A=∠P．
∴AC=PC．
在Rt△OCP中，tan∠P=

OC

CP

，
∴OC=6，
∵S_△OCP=

1

2

CP•OC=

1

2

×6

3

×6=18

3

，
S_扇形COB=6π，
∴S_阴影=S_△OCP-S_扇形COB=18

3

-6π，
故答案为18

3

-6π．

点评：本题考查了切线的性质、扇形面积的计算，圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．